In der Wissenschaft werden oft Aussagen formuliert, die auf ihren Wahrheitsgehalt hin zu prüfen sind. Zur Begründung einer wissenschaftlichen Aussage werden in der Regel einfach einzusehende Argumente oder bereits bewiesene Aussagen herangezogen und aneinandergereiht. Daher möchte ich in diesem Artikel einen Ausflug in die mathematische Logik wagen und einen Einblick in das mathematische Argumentieren geben. Wir werden zunächst den Aussagenbegriff einführen und aus mehreren Aussagen neue komplexere Aussagen konstruieren. Zum Abschluss werden wir eine wichtige Schlussregel, nämlich den Modus ponens kennenlernen und diesen als Tautologie erkennen. Der Modus ponens war bereits in der Antike eine geläufige Schlussfigur [1].

Der Aussagenbegriff und das Paradoxon des Epimenides

Unter einer einfachen Aussage oder Elementaraussage verstehen wir einen Satz, der entweder wahr oder falsch ist, ein Drittes ist ausgeschlossen. Historisch geht die Aussagenlogik zurück bis zu Aristoteles [2]. Eine Aussage kann dabei sowohl unserer alltäglichen Sprache entstammen oder auch in einer formaleren Sprache wie die der Mathematik oder die der Informatik notiert werden. Beispiele für Elementaraussagen sind:

  • \( A_1: \) Stuttgart ist die Landeshauptstadt von Baden-Württemberg.
  • \( A_2: \) Die Zahl 4 ist gerade, d. h. durch 2 teilbar.
  • \( A_3: \) Alle Blumen haben gelbe Blüten.

Die Aussagen \( A_1 \) und \( A_2 \) sind offenbar wahr, während die Aussage \( A_3 \) falsch ist.

Im Umgang mit Aussagen müssen wir sehr vorsichtig sein, wie das folgende Beispiel eindrucksvoll zeigt. Es ist als Paradoxon des Epimenides bekannt [3],  [4]. Epimenides der Kreter sagte, dass alle Kreter Lügner sind. War dies eine Lüge? Die einfachste Form dieses Widerspruchs liefert die Aussage eines Mannes, der sagt: „Ich lüge gerade“. Falls der Mann gerade lügt, so spricht er die Wahrheit und umgekehrt. Ein Widerspruch!

Dies Art der Paradoxie entsteht dadurch, dass die Wahrheitsbedingung einer Aussage in dieser selbst spezifiziert ist. Bertrand Russell beschreibt dies als Selbstreferenz oder Rückbezüglichkeit [3].  

Epimenides lebte im 5., 6. oder 7. Jahrhundert v. Chr. in Knossós auf Kreta und in Athen. Er war Philosoph und berühmtester Seher und Reinigungspriester („Katharte“) seiner Zeit sowie ein Zeitgenosse der Sieben Weisen, zu denen er auch gerechnet wird. [5]

Die Verneinung von Aussagen

Wie oben beschrieben betrachten wir Aussagen, die wahr oder falsch sind. Eine dritte Möglichkeit schließen wir aus. Die Verneinung oder Negation einer Aussage \( A \) ist genau diejenige Aussage nicht \( A \) (symbolisch: \( \neg A \)), die dann und nur dann wahr ist, wenn die ursprüngliche Aussage \( A \) falsch ist. Übersichtlich kann dies in tabellarischer Form dargestellt werden:

\( A \)\( \neg A \)
wahrfalsch
falschwahr
Tabelle 1: Die Negation

Man spricht bei dieser Darstellungsform auch von einer Wahrheitstafel. Betrachten wir die drei obigen Aussagen und verneinen diese.

  • \( \neg A_1: \) Stuttgart ist nicht die Landeshauptstadt von Baden-Württemberg.
  • \( \neg A_2: \) Die Zahl 4 ist nicht gerade, d. h. nicht durch 2 teilbar.
  • \( \neg A_3: \) Es gibt mindestens eine Blume, die keine gelbe Blüte hat.

Die Verneinung der Aussage \( A_3 \) ist vielleicht nicht ganz einfach zu finden.

Die Und-Verknüpfung zweier Aussagen

Sind \( A \) und \( B \) zwei Aussagen, so können wir die zusammengesetzte Aussage „\( A \) und \( B \)“ in Zeichen \( A \wedge B \) bilden, die genau dann wahr ist, wenn die beiden Atome \( A \) und \( B \) wahr sind. Am einfachsten definiert man die sogenannte Wahrheitsbelegung mithilfe einer Wahrheitstafel.

\( A \)\( B \)\( A \wedge B \)
wahrwahrwahr
wahrfalschfalsch
falschwahrfalsch
falschfalschfalsch
Tabelle 2: Die Konjunktion

Auch hier können wir den Sachverhalt mit Beispielen unterlegen. Es seien \( A \) die Aussage: „Stuttgart ist eine Stadt in Baden-Württemberg“ und \( B \) die Aussage: „Stuttgart ist die Landeshauptstadt ihres Bundeslandes.“ Dann ist die Aussage

  • \( A \wedge B \): „Stuttgart ist eine Stadt in Baden-Württemberg und Stuttgart ist die Landeshauptstadt ihres Bundeslandes“ wahr,

da beide Teilaussagen wahr sind. Die Aussage „\( 1+1=2 \) und \( 1 \cdot 1 = 1 \)“ ist wahr, da sowohl \( 1+1=2 \) wahr ist, als auch \( 1 \cdot 1=1 \) wahr ist. Auch die Aussage „\( 1+1=2 \) und \( 1+1 = 2 \)“ ist eine wahre Aussage, auch wenn diese Darstellung redundant und wenig effizient ist.

Die Oder-Verknüpfung zweier Aussagen

Aus zwei Aussagen A und B kann die zusammengesetzte Aussage „A oder B“ gebildet werden, die genau dann wahr ist, wenn mindestens eine der beiden Teilaussagen A oder B wahr ist. Formal schreiben wir für die Oder-Verknüpfung zweier Aussagen \( A \) und \( B \), \( A \vee B \). Wir verwenden in der mathematischen Logik das „oder“ nicht im Sinne von „entweder oder“.

\( A \)\( B \)\( A \vee B \)
wahrwahrwahr
wahrfalschwahr
falschwahrwahr
falschfalschfalsch
Tabelle 3: Die Adjunktion

Zur Illustration seien \( A \) die Aussage: „Stuttgart ist die Landeshauptstadt von Baden-Württemberg“ und \( B \): „Stuttgart ist die Landeshauptstadt von Bayern“. Dann ist die zusammengesetzte Aussage \( A \vee B \): „Stuttgart ist die Landeshauptstadt von Baden-Württemberg“ oder „Stuttgart ist die Landeshauptstadt von Bayern“ wahr, da zwar \( B \) falsch ist, aber \( A \) wahr ist. Falsch hingegen ist die Aussage „\( 1+1=3 \) oder \( 1 \cdot 1 = 2 \)“, da weder \( 1+1=3 \) wahr ist, noch \( 1 \cdot 1 = 2 \) wahr ist.

Die Wenn … dann … Verknüpfung zweier Aussagen

Die Implikation drückt eine hinreichende Bedingung aus: Wenn die Aussage \( A \) wahr ist, dann ist auch die Aussage \( B \) wahr, oder anders: Die Aussage \( A \) impliziert die Aussage \( B \), formal \( A \Rightarrow B \). Oft sagt man auch aus \( A \) folgt \( B \). In den Wissenschaften werden Aussagen oft in Form einer Implikation formuliert. Daher sollte man sich gut mit der Wenn … Dann … Verknüpfung vertraut machen. Ein beliebtes Beispiel ist sicherlich die folgende Implikation. „Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.“ Die „Umkehrung“: „Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet“, ist jedoch falsch, da ja auch ein anderer Grund, z.B. ein Rohrbruch zu einer nassen Straße führen kann. Ein weiters Beispiel aus der elementaren Mathematik ist die Folgerung: „Wenn eine Zahl durch 10 teilbar ist, dann ist diese auch durch 5 teilbar“. Am einfachsten stellt man auch im Falle der Implikation die möglichen Wahrheitsbelegungen mithilfe einer Wahrheitstabelle dar.

\( A \)\( B \)\( A \Rightarrow B \)
wahrwahrwahr
wahrfalschfalsch
falschwahrwahr
falschfalschwahr
Tabelle 4: Die Implikation

Die Implikation zweier Aussagen ist also nur dann falsch, wenn die Voraussetzung (Wenn-Aussage) wahr ist und die Folgerung (Dann-Aussage) falsch ist. Der nachfolgende Satz ist wahr.

Wenn \( 1+1=0 \) ist, dann ist auch \( 10=0 \).

An dieser Stelle soll explizit darauf hingewiesen werden, dass hier weder \( 1+1=0 \) behauptet wird, noch \( 10=0 \). Überzeugen wir uns von der Wahrheit der Behauptung und geben einen Beweis an. Nehmen wir also an, dass \( 1+1=0 \) wahr ist. Denn sonst hätten wir nach obiger Tabelle 4 nichts zu beweisen. Dann gilt auch \( 2=0 \), denn es ist \( 1+1=2 \). Wir wissen, dass die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl diese erhält. Also bleibt die Gleichheit auch bei Multiplikation beider Seiten mit \( 5 \) erhalten. Aufgrund der beiden wahren Identitäten \( 5 \cdot 2=10 \) und \( 5 \cdot 0=0 \), folgt die Behauptung \( 10=0 \). Ich denke, darüber kann man durchaus erst mal grübeln, z. B. bei einem ausgedehnten Waldspaziergang:)

Der Modus ponens

Der Modus ponens ist eine aus der antiken Logik geläufige Schlussfigur. Der Ausdruck Modus ponens leitet sich aus den lateinischen Wörtern modus (hier: Schlussfigur) und ponere (stellen, setzen) ab und bedeutet setzende Schlussfigur, d. h. Schlussfigur, bei der eine positive Aussage hergeleitet wird [1].

Der Modus ponens sagt aus, dass aus der Wahrheit der Aussagen \( A \) und der zusammengesetzten Aussage \( A \Rightarrow B \) auf die Wahrheit von \( B \) geschlossen werden kann. Die Gültigkeit dieses Schlusses setzt voraus, dass die Formel \( (A \wedge (A \Rightarrow B)) \Rightarrow B \) eine Tautologie ist. Eine Tautologie ist eine Aussage, die unabhängig von der Wahrheitsbelegung der zugrundeliegenden Teilaussagen immer wahr ist [6]. Ein bekanntes Beispiel für eine Tautologie ist, „Das Wetter ändert sich oder es bleibt, wie es ist.“

Den Nachweis dafür, dass es sich bei dem Modus ponens um eine allgemeingültige Aussage handelt, also einer Aussage, die aus logischen Gründen immer wahr ist, erbringt man beispielsweise mithilfe einer Wahrheitstafel. Hierbei wenden wir die oben diskutierten Regeln zum Zusammensetzen von Aussagen stufenweise an.

\( A \)\( B \)\( A \Rightarrow B \)\( A \wedge (A \Rightarrow B) \)\( (A \wedge (A \Rightarrow B)) \Rightarrow B \)
wahrwahrwahrwahrwahr
wahrfalschfalschfalschwahr
falschwahrwahrfalschwahr
falschfalschwahrfalschwahr
Tabelle 5: Der Modus Ponens

Man erkennt eindeutig, dass die letzte Spalte der Tabelle 5 immer den Wahrheitswert wahr enthält und es sich daher beim Modus ponens um eine Tautologie handelt.

Jetzt können wir nochmals das vorherige Beispiel aufgreifen und besser verstehen. Es gilt zwar \( 1+1 = 0 \) impliziert \( 10 = 0 \), d.h. die Aussage \( 1+1 = 0 \Rightarrow 10=0 \) ist wahr, aber \( 1+1 = 0 \) ist nicht wahr. Somit ist \( (1+1 = 0 \wedge (1+1=0 \Rightarrow 10=0)) \) falsch und wir können nicht auf die Wahrheit der Aussage \( 10 = 0 \) schließen, wie wir der Tabelle 5 leicht entnehmen können.


[1] Modus ponens. Nov. 2020. url: https://de.wikipedia.org/wiki/Modus_ ponens.

[2] Aussagenlogik. Jan. 2021. url: https://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik.

[3] Bertrand Russell. “Mathematical Logic as Based on the Theory of Types”. In: American Journal of Mathematics 30.3 (1908), S. 222–262. DOI: 10.2307/ 2369948. URL: https://www.jstor.org/stable/2369948.

[4] Paradoxon des Epimenides. Nov. 2018. url: https://de.wikipedia.org/ wiki/Paradoxon_des_Epimenides.

[5] Epimenides. Nov. 2018. url: https://de.wikipedia.org/wiki/Epimenides

[6] Tautologie (Logik). Juli 2019. url: https : / / de . wikipedia . org / wiki / Tautologie_(Logik).

[7] Terence Tao. Analysis I. Hindustan Book Agency, 2017.